Сравниваем простые и сложные проценты. Лучшие варианты для разных условий инвестирования.
Продолжаем наш интеллектуальный разговор о простых и сложных процентах.
Сила сложных процентов заключается в том, что при длительном сроке инвестирования сложные проценты обеспечат гораздо больший доход на вложенный капитал нежели простые проценты.
Допустим, у вас есть 1 млн. руб. Вы размещаете этот 1 млн. руб. в доходный инструмент по ставке 6% годовых сроком на 20 лет. Проценты начисляются ежемесячно.
Давайте теперь сравним на этом примере эффект, который оказывают сложные проценты.
Построим две таблицы, в которых рассчитаем сумму инвестированного капитала к концу срока инвестирования методом простых и сложных процентов и разберем подробно каждый из методов.
Разберем сначала метод простых процентов.
Срок размещения депозита или срок инвестиции 20 лет. Процентная ставка 6% годовых. Инвестируемый капитал = 1 млн. руб. Вопрос, какова сумма капитала к концу периода инвестирования при методе начисления процентов по схеме простых процентов?
Исходные данные:
Kнс = 1 млн. руб.
r = 6% годовых
n - 20 лет
Метод начисления процентов - простые проценты ежемесячно.
Решим задачу двумя способами. Первый - развернутый способ. Рассчитаем в таблице сумму процентов за каждый месяц из 20-летнего периода (рассчитываем сумму процентов за каждый месяц, так как по условиям задачи проценты начисляются ежемесячно).
Сила сложных процентов заключается в том, что при длительном сроке инвестирования сложные проценты обеспечат гораздо больший доход на вложенный капитал нежели простые проценты.
Допустим, у вас есть 1 млн. руб. Вы размещаете этот 1 млн. руб. в доходный инструмент по ставке 6% годовых сроком на 20 лет. Проценты начисляются ежемесячно.
Давайте теперь сравним на этом примере эффект, который оказывают сложные проценты.
Построим две таблицы, в которых рассчитаем сумму инвестированного капитала к концу срока инвестирования методом простых и сложных процентов и разберем подробно каждый из методов.
Разберем сначала метод простых процентов.
Срок размещения депозита или срок инвестиции 20 лет. Процентная ставка 6% годовых. Инвестируемый капитал = 1 млн. руб. Вопрос, какова сумма капитала к концу периода инвестирования при методе начисления процентов по схеме простых процентов?
Исходные данные:
Kнс = 1 млн. руб.
r = 6% годовых
n - 20 лет
Метод начисления процентов - простые проценты ежемесячно.
Решим задачу двумя способами. Первый - развернутый способ. Рассчитаем в таблице сумму процентов за каждый месяц из 20-летнего периода (рассчитываем сумму процентов за каждый месяц, так как по условиям задачи проценты начисляются ежемесячно).
Итак, сумма начисленных процентов по схеме простых процентов от месяца к месяцу остается неизменной, так как проценты по схеме простых процентов начисляются на первоначально инвестированный капитал. Эта сумма процентов за каждый месяц равна в нашем примере 5 тысячам рублям. Таким образом к концу срока инвестирования получаем капитал, равный 2.2 млн. руб.
Эта сумма складывается из первоначально инвестированного капитала в сумме 1 млн. руб. и начисленных за 20 лет или за 240 мес процентов в сумме 1 млн. 200 тыс. руб.
Вложили мы 1 млн. руб., а на выходе через 20 лет получили 2.2 млн. руб. Выглядит неплохо? Но рано радоваться.
2.2 млн. руб. через 20 лет – это не то же самое, что 2.2 млн. руб. сегодня. Для полной картины нужно делать поправку на прогнозную инфляцию, а это не является темой данной статьи и целью данного примера.
Итак, мы посчитали детальным способом, что по схеме простых процентов сумма капитала к концу 20-летнего периода инвестирования при ежемесячном начислении процентов и при 6% годовых составит 2.2. млн. руб.
Эту же сумму мы можем получить простой формулой такого вида:
Ккс = Kнс*(1+rn), где:
n – кол-во лет инвестиции (в нашем примере = 20 лет)
r – годовая процентная ставка (в нашем примере 6%)
Kнс – сумма исходного капитала (1 млн. руб.)
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
Ккс = 1млн.(1+6%20) = 2.2 млн. руб.
Поэтому совсем не обязательно было строить большие таблицы.
Расчет процентов по схеме сложных процентов.
А теперь давайте посчитаем, какова будет сумма инвестированного капитала по схеме сложных процентов и при тех же остальных условиях.
И эту задачу мы тоже можем решить двумя способами.
1-ый способ. Построим детальную таблицу.
При схеме сложных процентов начисленные в первый месяц проценты прибавляются к первоначально инвестированному капиталу в целях расчета процентов за следующий месяц, поэтому сумма начисленных во второй и последующие месяцы процентов будет больше суммы процентов за любой предыдущий месяц. Вот как это выглядит в таблице.
Вложили мы 1 млн. руб., а на выходе через 20 лет получили 2.2 млн. руб. Выглядит неплохо? Но рано радоваться.
2.2 млн. руб. через 20 лет – это не то же самое, что 2.2 млн. руб. сегодня. Для полной картины нужно делать поправку на прогнозную инфляцию, а это не является темой данной статьи и целью данного примера.
Итак, мы посчитали детальным способом, что по схеме простых процентов сумма капитала к концу 20-летнего периода инвестирования при ежемесячном начислении процентов и при 6% годовых составит 2.2. млн. руб.
Эту же сумму мы можем получить простой формулой такого вида:
Ккс = Kнс*(1+rn), где:
n – кол-во лет инвестиции (в нашем примере = 20 лет)
r – годовая процентная ставка (в нашем примере 6%)
Kнс – сумма исходного капитала (1 млн. руб.)
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
Ккс = 1млн.(1+6%20) = 2.2 млн. руб.
Поэтому совсем не обязательно было строить большие таблицы.
Расчет процентов по схеме сложных процентов.
А теперь давайте посчитаем, какова будет сумма инвестированного капитала по схеме сложных процентов и при тех же остальных условиях.
И эту задачу мы тоже можем решить двумя способами.
1-ый способ. Построим детальную таблицу.
При схеме сложных процентов начисленные в первый месяц проценты прибавляются к первоначально инвестированному капиталу в целях расчета процентов за следующий месяц, поэтому сумма начисленных во второй и последующие месяцы процентов будет больше суммы процентов за любой предыдущий месяц. Вот как это выглядит в таблице.
Каждый месяц проценты начисляются на все большую сумму имеющегося капитала, в то время как при схеме простых процентов, проценты начисляются на сумму первоначально инвестированного капитала. Ожидаемо, что к концу 20 летнего срока сумма капитала, накопленная по схеме сложных процентов, будет больше аналогичной суммы по схеме простых процентов и в нашем случае эта сумма капитала составит 3 310 204 руб.
Для расчета суммы капитала в конце срока инвестирования по схеме сложных процентов мы построили большую таблицу. Но эту сумму капитала можно рассчитать в одно действие с помощью формулы вот такого вида:
Ккс = Kнс*(1+r/N)^m , где:
m – кол-во месяцев, в течение которых начисляются проценты – в нашем примере это 240 месяцев
N – это общее кол-во начислений процентов в периоде, к которому привязана процентная ставка. В нашем случае N Равно 12, так как по условию процентная ставка задана годовая
r – годовая процентная ставка
Kнс – сумма исходного капитала
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
^ - это математический знак возведения в степень соответствующего выражения.
Подставим в формулу исходные данные:
Ккс = 1млн.*(1+6%/12)^240= 3 310 204 руб.
Итак, в данном примере совершенно однозначно, что лучше инвестировать по схеме сложных процентов.
Но давайте усложним задачу.
Внутригодовые начисления.
Вы рассматриваете два варианта финансирования краткосрочного (менее года) инвестирования.
Вариант 1. Краткосрочный финансовый инструмент на 8 мес для инвестирования имеющегося в вашем распоряжении 1 млн.руб. Обещанная доходность этого финансового инструмента 10% годовых. Проценты начисляются однократно в конце срока инвестирования. Вам предлагается инвестировать в данный финансовый инструмент по схеме сложных процентов.
В качестве альтернативы вы рассматриваете депозит под те же 10% годовых на 8 мес., но по схеме простых процентов.
При каком варианте вложения сумма капитала в конце срока инвестирования будет больше?
Формула для расчета суммы капитала в конце сроке инвестирования менее чем на 1 год при сложных процентах и при заданной годовой процентной ставке такая:
Ккс = Kнс*(1+r)^(m/N), где:
Kнс – исходная сумма капитала
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
r – заданная годовая процентная ставка
m – срок инвестирования в месяцах
N - это общее кол-во начислений процентов в том периоде, к которому привязана процентная ставка. Срок инвестирования - 8 месяцев, процентная ставка привязана к году, в году - 12 месяцев. Поэтому m=8, N=12.
^ - математический знак возведения в степень соответствующего выражения.
Мы используем именно эту формулу, так как по условию проценты начисляются однократно в конце срока действия финансового инструмента.
Подставляем исходные данные в формулу и получаем сумму капитала в конце срока, равную 1 065 602 рубля.
Ккс = 1 000 000 * (1+10%)^(8/12) = 1 065 602.
Это сумма накопленного к концу срока инвестирования капитала, инвестированного в финансовый инструмент по схеме сложных процентов на 8 месяцев с однократным начислением процентов в конце срока инвестирования.
Идем далее. Рассчитаем теперь какова будет сумма капитала, инвестированного в депозит на тех же условиях, но с разницей в методе начисления процентов – теперь используется метод простых процентов.
При простых процентах сумма капитала к концу срока инвестирования рассчитывается по такой формуле.
Ккс = Kнс*(1+r*m/N), где:
Kнс– исходная сумма капитала
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
r – заданная годовая процентная ставка
m – срок инвестирования в месяцах
N - это общее кол-во начислений процентов в том периоде, к которому привязана процентная ставка. Срок инвестирования - 8 месяцев, процентная ставка привязана к году, в году - 12 месяцев. Поэтому m=8, N=12
Итак, накопленная к концу срока инвестирования сумма капитала равна 1 066 667 руб.
Ккс = 1 000 000 *(1+10%*8/12) = 1 066 667
Что же получается? Сумма капитала по схеме простых процентов оказывается больше суммы капитала при схеме сложных процентов. Поэтому в нашем примере было бы выгоднее положить деньги на депозит по схеме простых процентов.
Какой вывод можно сделать из наших калькуляций? Вывод даем применительно к годовому периоду.
В случае ежегодного начисления процентов (т.е. если задана годовая % ставка) для лица, инвестировавшего в финансовый инструмент:
- более выгодной является схема простых процентов, если срок инвестирования менее одного года и проценты начисляются однократно в конце периода;
- более выгодной является схема сложных процентов, если срок инвестиции превышает один год, а проценты начисляются как минимум ежегодно;
- обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов
Вместо года можно использовать для данного вывода вообще любой период, в отношении которого зафиксирована процентная ставка, но срок инвестиции менее этого периода
Ккс = Kнс*(1+r/N)^m , где:
m – кол-во месяцев, в течение которых начисляются проценты – в нашем примере это 240 месяцев
N – это общее кол-во начислений процентов в периоде, к которому привязана процентная ставка. В нашем случае N Равно 12, так как по условию процентная ставка задана годовая
r – годовая процентная ставка
Kнс – сумма исходного капитала
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
^ - это математический знак возведения в степень соответствующего выражения.
Подставим в формулу исходные данные:
Ккс = 1млн.*(1+6%/12)^240= 3 310 204 руб.
Итак, в данном примере совершенно однозначно, что лучше инвестировать по схеме сложных процентов.
Но давайте усложним задачу.
Внутригодовые начисления.
Вы рассматриваете два варианта финансирования краткосрочного (менее года) инвестирования.
Вариант 1. Краткосрочный финансовый инструмент на 8 мес для инвестирования имеющегося в вашем распоряжении 1 млн.руб. Обещанная доходность этого финансового инструмента 10% годовых. Проценты начисляются однократно в конце срока инвестирования. Вам предлагается инвестировать в данный финансовый инструмент по схеме сложных процентов.
В качестве альтернативы вы рассматриваете депозит под те же 10% годовых на 8 мес., но по схеме простых процентов.
При каком варианте вложения сумма капитала в конце срока инвестирования будет больше?
Формула для расчета суммы капитала в конце сроке инвестирования менее чем на 1 год при сложных процентах и при заданной годовой процентной ставке такая:
Ккс = Kнс*(1+r)^(m/N), где:
Kнс – исходная сумма капитала
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
r – заданная годовая процентная ставка
m – срок инвестирования в месяцах
N - это общее кол-во начислений процентов в том периоде, к которому привязана процентная ставка. Срок инвестирования - 8 месяцев, процентная ставка привязана к году, в году - 12 месяцев. Поэтому m=8, N=12.
^ - математический знак возведения в степень соответствующего выражения.
Мы используем именно эту формулу, так как по условию проценты начисляются однократно в конце срока действия финансового инструмента.
Подставляем исходные данные в формулу и получаем сумму капитала в конце срока, равную 1 065 602 рубля.
Ккс = 1 000 000 * (1+10%)^(8/12) = 1 065 602.
Это сумма накопленного к концу срока инвестирования капитала, инвестированного в финансовый инструмент по схеме сложных процентов на 8 месяцев с однократным начислением процентов в конце срока инвестирования.
Идем далее. Рассчитаем теперь какова будет сумма капитала, инвестированного в депозит на тех же условиях, но с разницей в методе начисления процентов – теперь используется метод простых процентов.
При простых процентах сумма капитала к концу срока инвестирования рассчитывается по такой формуле.
Ккс = Kнс*(1+r*m/N), где:
Kнс– исходная сумма капитала
Ккс - сумма капитала в конце срока инвестирования
r – заданная годовая процентная ставка
m – срок инвестирования в месяцах
N - это общее кол-во начислений процентов в том периоде, к которому привязана процентная ставка. Срок инвестирования - 8 месяцев, процентная ставка привязана к году, в году - 12 месяцев. Поэтому m=8, N=12
Итак, накопленная к концу срока инвестирования сумма капитала равна 1 066 667 руб.
Ккс = 1 000 000 *(1+10%*8/12) = 1 066 667
Что же получается? Сумма капитала по схеме простых процентов оказывается больше суммы капитала при схеме сложных процентов. Поэтому в нашем примере было бы выгоднее положить деньги на депозит по схеме простых процентов.
Какой вывод можно сделать из наших калькуляций? Вывод даем применительно к годовому периоду.
В случае ежегодного начисления процентов (т.е. если задана годовая % ставка) для лица, инвестировавшего в финансовый инструмент:
- более выгодной является схема простых процентов, если срок инвестирования менее одного года и проценты начисляются однократно в конце периода;
- более выгодной является схема сложных процентов, если срок инвестиции превышает один год, а проценты начисляются как минимум ежегодно;
- обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов
Вместо года можно использовать для данного вывода вообще любой период, в отношении которого зафиксирована процентная ставка, но срок инвестиции менее этого периода
Помогла ли вам эта статья?
