Многие из вас, наверно, слышали о таких понятиях, как простые и сложные проценты.
На самом деле это даже не столько понятия или термины – сколько часто употребляемое название метода или способа расчета суммы процентов при заданных условиях.
Теория простых и сложных процентов на практике применяется, например, при начислении процентов по депозиту.
Схема простых процентов.
Давайте сначала разберем простые проценты. При данном способе проценты начисляются только на первоначально инвестированный капитал.
Предположим, вы располагаете капиталом Кнс, равным 1000 руб. На повестке дня у нас - вопрос вложения данного капитала по ставке 10% годовых r по схеме простых процентов на срок 3 года n.
Какова будет сумма вложенного сегодня капитала через три года при заданных условиях? Ежегодный прирост капитала по схеме простых процентов равен произведению ставки процента на исходный инвестированный капитал Kнс*r, т.е. в нашем случае ежегодный прирост капитала или сумма начисленных процентов за год составит 1000*10% = 100 руб.
Таким образом, через три года сумма инвестированного капитала (с учетом первоначального вложения) составит:
Ккс = Kнс*r+Kнс*r+Kнс*r + Kнс = 1300 руб.
Приведенную формулу можно проще записать в таком виде:
Ккс = Kнс*(1+nr), где:
n - количество лет инвестиции или срок размещения депозита.
r – годовая процентная ставка
Kнс - первоначальный инвестированный капитал
Ккс - инвестированный капитал в конце срока инвестирования
При схеме простых процентов предполагается, что проценты начисляются на исходный инвестированный капитал, а начисленные проценты по этому капиталу выплачиваются и не реинвестируются, т.е. проценты не прибавляются к первоначально инвестированному капиталу.
Сложные проценты.
При схеме сложных процентов, напротив, условиями соглашения предполагается, что начисленные на первоначальный инвестированный капитал проценты реинвестируются (капитализируются) и на сумму процентов, уже полученную к следующему расчетному периоду, также начисляются проценты.
Разберем пример.
Kнс = 1000 руб.
r = 10%
Проценты начисляются ежегодно в конце года 1 раз в год
В первый год сумма начисленных процентов будет такой же, как и в случае с простыми процентами = 100 руб.
Однако, на второй год, сумма процентов будет уже больше за счет того, что на начисленные в первый год проценты будут также начислены проценты во второй год и так далее.
Сумма начисленных начисленных процентов во второй год определяется по следующей формуле:
(Kнс+Kнс*r)*r
Соответственно в третий год формула для расчета процентов по схеме сложных процентов выглядит так.
(Kнс+Kнс*r+(Kнс+Kнс*r)*r)*r
и т.д.
Данный ряд можно продолжать и далее
В универсальном виде приведенные выше формулы можно записать в таком виде:
Kнс(1+r)^n, где:
n - количество лет инвестиции или срок размещения депозита.
r – годовая процентная ставка
Kнс - первоначальный инвестированный капитал
Ккс - инвестированный капитал в конце срока инвестирования
^ - математический знак возведения в степень соответствующего выражения
Прочитать эту формулу можно так.
Сумма капитала, которым мы будем располагать в будущем, при заданной процентной ставке, сроке инвестиции и при сложных процентах определяется произведением первоначального инвестированного капитала на множитель. Множитель – это возведение в степень, равной кол-ву лет срока инвестирования, суммы единицы и заданной процентной ставки.
В нашем примере к концу 3 года инвестированный капитал составит:
Ккс = 1000* (1+10%)^3 = 1331 Руб.
По схеме простых процентов мы получили 1300 руб.
Поэтому схема сложных процентов в нашем примере оказалась более выгодной, так как к концу срока депозита сумма капитала на 31 рубль превышает сумму капитала, рассчитанную по схеме простых процентов.
Это означает, что при годовом начислении процентов и сроке инвестиций более 1 года выгодна схема сложных процентов.
